Юрий Леонтьев родился 27 марта 1940 года в Вологде. C 1941 жил во Владимире. После окончания Владимирского машиностроительного техникума работал на Владимирском тракторном заводе. После военной службы в 1969 году окончил Владимирский политехнический институт по специальности «Литейное производство», аспирантуру, стажировался в Московском институте стали и сплавов, МВТУ им. Баумана, Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Работал на Владимирском электромоторном заводе. С 1972 преподавал во Владимирском политехническом институте, семь лет работал заместителем декана механико-технологического факультета.
С начала 1970-х годов Юрий Леонтьев начал активно заниматься путешествиями. В 1974 г. во Владимире была создана научно-спортивная экспедиция под его руководством, работавшая в течение почти 20 лет: во время своих отпусков её участники занимались исследованием старинных русских трактов. Первую экспедицию по поиску знаменитой дороги «Владимирка» Леонтьев с единомышленниками организовал и провёл в 1974 году. Материалы о результатах экспедиций широко публиковались в местной и центральной печати, им был посвящён ряд передач Центрального телевидения. По результатам экспедиций сохранившиеся участки старинного тракта были взяты на государственную охрану. Собранный материал хранится в Государственном архиве Владимирской области, а широкому кругу читателей результат исследований был представлен в документальной повести «Владимирка».
В конце 1980-х гг. Ю.А. Леонтьев активно участвовал в учреждении Союза учёных СССР. В 1989 г. вместе с известными путешественниками Туром Хейердалом, Юрием Сенкевичем, Артуром Чилингаровым, Дмитрием Шпаро создавал «Ассоциацию путешественников СССР».
Юрий Александрович вел активную общественную деятельность. В 1990 году был избран депутатом Владимирского городского Совета XXI созыва, в 1994 г. - депутатом Законодательного Собрания Владимирской области I созыва, в 1996 году, в период выборов Президента РФ, был доверенным лицом действующего Президента РФ.
Возглавляя в городском Совете комиссию по правам человека, он особое внимание уделял людям, пострадавшим от репрессий. В память об их жертвах Леонтьев организовал работы по созданию и установке мемориала «Поклонный Крест» на территории Богородице-Рождественского монастыря во Владимире. Был инициатором принятия горсоветом решения о более ранней дате основания г. Владимира. В Законодательном Собрании области руководил комитетом по социальной политике. Был инициатором принятия первого закона Владимирской области «О природопользовании».
Юрий Леонтьев являлся участником и руководителем ряда государственных экологических экспертиз по промышленным объектам города и области. В 1997-2001 гг. возглавлял отдел экологии и природопользования администрации города Владимира. Под его руководством была разработана документация по природным объектам города, проводились работы по очистке прудов, родников, особо охраняемых природных территорий.
Действительный член Русского географического общества, ученый, публицист и путешественник Юрий Леонтьев был автором свыше 200 публикаций, ряда изобретений.
"Владимирские ведомости" выражают глубокие соболезнования родным и близким Юрия Александровича.