Александр Фёдорович родился в 1919 году в селе Добрынское. Был призван в Красную Армию в октябре 1939 года. В годы Великой Отечественной войны воевал на Северо-Кавказском, 3-м и 4-м Украинских и 1-м Белорусском фронтах. В январе 1945 года форсировал в Польше реку Пилица в районе населённого пункта Пальцев, стрелковый батальон под его командованием отразил семь вражеских контратак.
Участвовал в формировании Одера, где получил тяжелое ранение, но остался на поле боя, продолжая командовать батальоном. 5 февраля 1945 года он скончался в госпитале от полученных ран.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм капитану Богомолову присвоено звание Героя Советского Союза. Он также награждён орденом Ленина, орденом Отечественной войны 2-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
В Юрьев-Польском в честь героя названы улица и переулок. его имя присвоено также двум школам.